Районная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 11 класс

Докажите, что $x\cos x\leq \dfrac{\pi^2}{16}$ при $0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$.

Комментарий/решение

$$ \forall x \in \Bigg[0,\frac{\pi}{2}\Bigg]: \qquad \sin x \leq x$$

$$\forall x \in \Bigg[0,\frac{\pi}{2}\Bigg]: \qquad \cos x=\sin(\frac{\pi}{2}-x) \leq \frac{\pi}{2}- x$$

$$\forall x \in \Bigg[0,\frac{\pi}{2}\Bigg]: \qquad x \cos x \leq x(\frac{\pi}{2}- x)=\frac{\pi^2}{16}-\Bigg(\frac{\pi}{4}-x\Bigg)^2\leq \frac{\pi^2}{16}$$