Олимпиада имени Леонарда Эйлера2014-2015 учебный год, I тур дистанционного этапа

Различные неотрицательные числа $a, b, c$ таковы, что $a^2+b^2 = c^2+ab$. Докажите, что $c^2+ab < ac+bc$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Не умаляя общности, положим $a < b$. Тогда $c^2+ab < ac+bc \Leftrightarrow (c-b)(c-a) < 0 \Leftrightarrow a < c < b$. Докажем последнее неравенство от противного. Допустим, $c \leq a$. Тогда $c^2+ab \leq a^2+ab < a^2+b^2$ — противоречие. Допустим, $c \geq b$. Тогда $c^2+ab \geq b^2+ab > b^2+a^2$ — снова противоречие.

$ac+bc>ab+c^2=a^2+b^2$

$c=\sqrt{a^2+b^2-ab}$

$\sqrt{(a+b)^2} × \sqrt{a^2+b^2-ab}>a^2+b^2$

$\sqrt{(a^3+b^3)(a+b)}>a^2+b^2$

$(a^3+b^3)(a+b)>(a^2+b^2)^2$

$a^3b+b^3a>2a^2b^2$

А это верно по $A.M>G.M$, и будет знак строго больше, так как равенство достигается когда числа равны, а по условию они у нас различны