Олимпиада имени Леонарда Эйлера2014-2015 учебный год, II тур дистанционного этапа

Какое наименьшее количество различных чисел можно выбрать таким образом, чтобы каждое выбранное число равнялось сумме каких-то трёх других различных выбранных чисел?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: Семь.
Решение. Пример. $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$.
Оценка. Пусть $n$ — наибольшее из выбранных чисел. Если $n \leq 0$, все остальные выбранные числа отрицательны, и сумма любых двух из них меньше каждого из слагаемых, а, значит, не может равняться $n$. Следовательно, $n > 0$. Те два из выбранных чисел, сумма которых равна $n$, тоже должны быть положительными, иначе их сумма будет меньше $n$. Итак, среди выбранных чисел должно быть по крайней мере три положительных. Рассматривая наименьшее из выбранных чисел, аналогичным образом убеждаемся, что среди выбранных чисел должно быть по крайней мере три отрицательных. Следовательно, всего должно быть выбрано не менее шести чисел.
Допустим, выбрано ровно шесть чисел: $a < b < c < d < e < f$. Из доказанного выше следует, что $c < 0 < d$. Поменяв, если нужно, знаки всех чисел на противоположные, можно считать, что $d \leq |c|$. Но тогда число $f$ нельзя представить в виде суммы трёх других выбранных, так как даже $c+d+e \leq e < f$.