8-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2012 год

Внутри стороны $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ выбрана произвольная точка $D$. Точки $M$ и $N$ — основания перпендикуляров, опущенных из $D$ на стороны $BC$ и $AC$ соответственно. Пусть $H_1$ и $H_2$ — ортоцентры треугольников $MNC$ и $MND$ соответственно. Докажите, что площадь четырехугольника $AH_1BH_2$ не зависит от положения точки $D$ на стороне $AB$.

Комментарий/решение

Пусть $G,\ L, \ Y$ основания высот проведенных с вершин $N,M,D$, аналогично $V,K,X$ основания проведенных $N,M,C$. Проведем высоту $H_{2}E$ в треугольнике $H_{2}AB$ и высоту $H_{1}F$ в треугольнике $H_{1}AB$, требуется доказать что $H_{2}E+H_{1}F=const$.

Проведем высоту $CH$ в треугольнике $ABC$, заметим что $H_{2}NMC$ - параллелограмм, так как $LN \perp H_{2}M, \ LN \perp AC$ и $MG \perp BC, \ MG \perp H_{2}N$, тогда $KM=LN, \ CK=H_{2}L, \ CH_{1}=DH_{2}$, значит проведя параллельную к $AB$ отрезок $A'B'=AB$ через точку $H_{1}$, пусть $E' \in CH \cap A'B'$ получаем что $CE'=H_{2}E$ так как $E'H || H_{1}F$ откуда $CE'+H_{1}F = H_{2}E+H_{1}F=CH$ то есть $const = CH$.

Еще заметим что площадь четырехугольника не меняется( (с) Matov) и равна площади треугольника ABC.