7-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2011 год


Найдите все функции $f: \Bbb R \to \Bbb R $ такие, что для любых $x, y\in \Bbb R $ выполнено равенство $f(x+f(y))=f(x-f(y))+4xf(y).$ (Здесь $ \Bbb R $ обозначает множество действительных чисел.)
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2018-12-26 18:51:05.0 #

Подставим $g(x)=f(x)-x^2$.

$g(g(x)+x^2+y)=g(g(x)+x^2-y)$ для действительных $x,y$.

Тогда $g(g(x)+x^2-g(y)-y^2+z)=g(g(x)+x^2+g(y)+y^2-z)=g(g(y)+y^2-g(x)-x^2+z)$, тогда

$g(z)=g(2*(g(x)+x^2-g(y)-y^2) +z)$ для действительных $x,y,z$. Если $g(x)+x^2$ константа, тогда мы получим $f(x)=0$ для всех действительных $x$. Если $g(x)+x^2$ не константа, тогда $g$ периодичен, скажем $T$. Тогда с последнего уравнения $x=y+T$ получим $g(z)=g(2*(2*y*T+T^2)+z)$ для действительных $y$ и $z$. Подберем $y$, чтобы получить $g(z)=g(0)$ для всех действительных $z$ и значит $f(x)=x^2+g(0)$ для всех действительных $x$.