6-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2010 год

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $AD$ равны. На сторонах $BC$ и $CD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $MN=BM+DN$. Прямые $AM$ и $AN$ вторично пересекают описанную окружность четырехугольника $ABCD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.
Докажите, что точка пересечения высот треугольника $APQ$ лежит на отрезке $MN$.

Комментарий/решение

Возьмём произвольную точку $M$ на $BC$ и отразим относительно отрезка $AM$ точку $B$ пусть это будет точка $X$ тогда $\angle ABM = \angle AXM $ если $MX$ пересекает $CD$ в точке $Y$ тогда $XY=DY$ так как $AB=AX=AD$ и $\angle ADY = \angle AXY$ и четырёхугольник вписанный, откуда $Y=N$ значит $NA,MA$ биссектрисы углов $BMN, \ DNM$ откуда $BX \perp AP$ и $DX \perp AQ$.

Пусть $BX$ пересекает $AN$ в точке $F$ тогда $\angle BFA = 90^{\circ} - \dfrac{\angle BAX+\angle DAX}{2} = 90^{\circ} - \dfrac{\angle BAD}{2}$

тогда как $\angle ADB = 90^{\circ} - \dfrac{\angle BAD}{2}$ то есть $F = Q$ аналогично и $\angle ABX = \angle ABQ = \angle APQ$ значит $PD, BQ$ высоты $APQ$ которые пересекаются в точке $X$ а $X \in MN$.