5-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2009 год

Найдите все такие пары целых чисел $(x, y)$, что $x^2-2009y+2y^2=0.$

Комментарий/решение

$$\forall x,y \in \mathbb{Z}: \quad x^2=2009y-2y^2\geq 0 \Leftrightarrow y \in [0, 1004]$$

$$ 2009=7^2\cdot 41 \Rightarrow x^2+2y^2= 7^2\cdot 41 $$

$$ x^2+2y^2 \equiv 0 \quad(mod 7)$$

$$ x=7a, y=7b \Rightarrow a^2+2b^2-287b=0$$

$$ a^2+2b^2 \equiv 0 \quad(mod 7)$$

$$a=7m, b=7n \Rightarrow m^2+2n^2-41n=0\Leftrightarrow n\in [0,20]$$

$$ (m,n)=(0,0),(12,18),(-12,18)$$

$$ (x,y)=(0,0),(7^2 \cdot 12, 7^2 \cdot 18),(-7^2 \cdot 12, 7^2 \cdot 18)$$

что вы сделали после 3 строки

Квадрат может оставлять остатки $0,1,2,4$, и если оба квадрата не делятся на $7$, то в сумме $x^2+2y^2$ не поделится на $7$.

Решение: если посмотреть по y то это квадратное уравнение. тогда

$$x^2-2009y+2y^2=0$$

$D=2009^2-4*2*x^2\geq0 $ ( так как x, y целые числа)

$2009^2-8x^2\geq0$

$(2009-\sqrt{8}*x)((2009+\sqrt{8}*x)\geq0$

$-710\leq y\leq710$

по x теперь

$D=0^2-4(2y^2-2009)\geq0$

$8036-8y^2\geq0$

$1004,5-y^2\geq0$

$-31\leq x\leq31$

поставляя эти значение в дискриминант находим x при котором D равняется полным квадратом.

Этот метод очень хорошо когда ничего не знаешь. Если в голову ничего не приходить очень хорошая идея