3-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2007 год

Существует ли функция $f: \Bbb R \to \Bbb R $, где $ \Bbb R $ — множество действительных чисел, такая, что для любых действительных чисел $x$, $y$ выполняется равенство: $f(x+f(y))=f(x)+\sin y ?$

Комментарий/решение

Ответ: Нет

Пусть $P(x;y)$ означает данное равенство.

$P(0;y)$ $f(f(y))$$=$$C$$+$$\sin y$ $(1)$

$P(y;0)$ $f(y+C)$$=$$f(y)$ $(2)$

$P(\sin y;0)$ $f(\sin y+C)$$=$$f(\sin y)$ $(3)$

Возьмем $f$ от обеих частей $(1)$: $f(f(f(y)))$$=$$f(\sin y+C)$ $(4)$

Приравнивая $(3)$ и $(4)$получим: $f(f(f(y)))$$=$$f(\sin y)$ $(5)$

$P(0;f(y))$ $f(f(f(y)))$$=$$C$$+$$\sin f(y)$ $(6)$

Приравнивая $(5)$ и $(6)$получим: $f(\sin y)$$=$$C$$+$$\sin f(y)$ $(7)$

$P(f(x);f(y))$ $f(f(x)+f(f(y)))=f(f(x))+\sin f(y)$ $(8)$

Применим $(1)$ к $(8)$: $f(f(x)+\sin y+C)=\sin x+C+\sin f(y)$ $(9)$

А теперь $(2)$ к $(9)$: $f(f(x)+\sin y)=\sin x+C+\sin f(y)$ $(10)$

Возьмем $f$ от обеих частей $P(x;y)$: $f(f(x+f(y)))=f(f(x)+\sin y)$

По свойству $(1)$ получаем: $f(f(x+f(y)))$$=$$C+\sin(x+f(y))$ $(11)$

Приравниваем $(10)$ и $(11)$: $C+\sin(x+f(y))$$=$$\sin x+C+\sin f(y)$ $\Rightarrow$

$\sin(x+f(y))$$=$$\sin x+\sin f(y)$

$x\Rightarrow\pi$

$\sin(\pi+f(y))$$=$$\sin \pi+\sin f(y)$

$-\sin f(y)$$=$$0+\sin f(y)$

$\sin f(y)$$=$$0$

$f(y)$$=$$\pi$$\cdot$$k$ ,$k$$\in$$Z$

$P(x; \frac{\pi}{2})$

$\pi\cdot$$k$$=$$\pi\cdot$$n$$+1$,это невозможно так как $k,n$$\in$$Z$ $#$