1-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2005 год, старшая лига

Дано действительное число $r$ такое, что для некоторой последовательности $\{a_n\}$ положительных действительных чисел неравенство $$a_1+a_2+\dots+a_{m+1}\leq ra_m$$ выполняется для всех натуральных чисел $m$. Докажите, что $r\geq 4$.

Комментарий/решение

Решение: Заменим $a_1+...+a_n=S_n$ и $\dfrac{S_n}{S_{n+1}}=C_n, \forall n\in\mathbb N.$ Заметим, что $0<C_i<1.$ Условие можно написать так:

$$\dfrac{1}{r}\le (1-C_{n})C_{n+1}, \forall n\in\mathbb N.$$

Рассмотрим произведение неравенств для $n=1,2,\ldots,m:$

$$\dfrac{1}{r^m}\le (1-C_1)C_{m+1}\cdot \prod_{i=2}^{m}(1-C_i)C_i< \prod_{i=2}^{m}\dfrac{1}{4}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{m-1}$$

$$\implies \dfrac{1}{r}<\left(\dfrac{1}{4}\right)^{1-\frac{1}{m}}\ \forall m\in\mathbb N.$$

Отсюда, рассматривая достаточно большие значения $m$, можем понять, что $\dfrac{1}{r}\le \dfrac{1}{4}\implies r\ge 4.\ \square$