Районная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 8 класс

Пусть $a\leq b\leq c$ — действительные числа. Докажите неравенство ${{c}^{2}}-{{b}^{2}}+{{a}^{2}}\geq {{\left( c-b+a \right)}^{2}}.$

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Преобразуем неравенство в эквивалентное: \[{c^2} - {b^2} \geq {(c - b + a)^2} - {a^2} \Leftrightarrow (c - b)(c + b) \geq (c - b)(c - b + 2a). \quad (1)\] Если нестрогое неравенство умножить на неотрицательное число, то знак неравенства не изменится. Из условия задачи следуют справедливость неравенств $c-b \geq 0$ и $c+b \geq c-b+2a$. Тогда, умножив последнее неравенство на $c-b$, получим (1).