Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 10 класс


Около неравнобедренного треугольника $ABC$ описана окружность $\omega$, точка $M$ — середина $AC$. Касательная к $\omega$ в точке $B$ пересекает прямую $AC$ в точке $N$, а прямая $BM$ повторно пересекает $\omega$ в точке $L$. Пусть точка $P$ симметрична точке $L$ относительно $M$. Окружность, описанная около треугольника $BPN$, повторно пересекает прямую $AN$ в точке $Q$. Докажите, что $\angle ABP = \angle QBC$. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Не теряя общности положим $AB > BC$. Пусть точка $L'$ на $\omega $ такая, что $LL' \parallel AC$. Обозначим $Q'=BL' \cap AC$. Тогда $AL = CL'$ и $\angle ABL = \angle L'BC = \angle Q'BC$.
Легко заметить, что $\triangle AML = \triangle CML'$. Поэтому $MP = ML = ML'$, откуда $\triangle MPQ' = \triangle ML'Q'$.
Значит, $$ \angle PQ'M = \angle MQ'L' = 180^\circ - \angle LL'B = \angle LAB = \angle LBN, $$ т. е. точки $P$, $B$, $N$ и $Q'$ лежат на одной окружности. Осталось заметить, что точки $Q'$ и $Q$ совпадают, так как описанная окружность треугольника $BPN$ пересекает прямую $AN$ не более чем в двух точках.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     $\textit{(Решение Аубекерова Данияра, г. Алматы)}$

Возьмем точку $Q'$ на отрезке $AC$ так, чтобы выполнялось равенство $\angle ABP = \angle Q'BC$. Тогда $BQ'$ — симедиана $\triangle ABC$ из вершины $B$. Из свойства симедианы следует, что точки $N$, $A$, $Q'$, $C$ образуют гармоническую четвёрку, а значит, $\frac{AQ'}{Q'C} = \frac{NA}{NC}$. Но $$ \frac{NA}{NC} = \frac{AC+CN}{CN} = 1+\frac{AC}{CN} = 1+\frac{2CM}{CN}, $$ $$ \frac{AQ'}{Q'C} =\frac{(CQ'+Q'M)+MQ'}{Q'C} = 1+\frac{2Q'M}{Q'C}, $$ откуда $\frac{CM}{CN} = \frac{Q'M}{Q'C} ~(*)$. Обозначим $CQ'=a$, $Q'M=b$, $CN=c$. Тогда $AM = a+b$ и из $(*)$ следует, что $$ \frac{a+b}{c} = \frac{b}{a} \Rightarrow a^2+ab=bc \Rightarrow (a+b)^2 = b(a+b+c) \Rightarrow MC^2=MQ' \cdot MN. \quad (1) $$ Так как $BM \cdot MP = BM \cdot ML = MC \cdot MA = MA^2$, то $$ MC^2= BM \cdot MP. \quad (2) $$ Из (1) и (2), следует, что точки $P$, $B$, $N$ и $Q'$ лежат на одной окружности. Осталось заметить, что точки $Q'$ и $Q$ совпадают, так как описанная окружность треугольника $BPN$ пересекает прямую $AN$ не более чем в двух точках.