Районная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 11 класс

Найдите количество различных тупоугольных треугольников, длины сторон которых — натуральные числа, а периметр равен 40.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: 18.
Решение. Заметим, что треугольник со сторонами $a \geq b \geq c$, тупоуголен, если $a^2 > b^2+c^2$. Это следует из теоремы косинусов. Найдем возможные значения $a$. По неравенству треугольника имеем $a < b+c=40-a$, откуда $a < 20$ или $a \leq 19$.
Нетрудно доказать неравенство ${b^2} + {c^2} \geq \dfrac{{{{(b + c)}^2}}}{2}$. Поэтому \[{a^2} > {b^2} + {c^2} \geq \frac{{{{(b + c)}^2}}}{2} = \frac{{{{(40 - a)}^2}}}{2} \Rightarrow a\sqrt 2 > 40 - a \Rightarrow a > \frac{{40}}{{\sqrt 2 + 1}} > 16.\] Следовательно, $17 \leq a \leq 19$. Учитывая, что $a > b \geq c$, для каждого $a=17,18,19$ найдем количество решений.
Если $a=17$, то $b+c=23$. Существует 5 решений в натуральных числах уравнения $b+c =23$ с условиями $17 > b \geq c$. Это пары $$(b,c)=(16,7), \ (15,8), \ (14,9), \ (13,10), \ (12,11).$$ Но первые две пары не удовлетворяют условию $a^2 > b^2+c^2$.
Если $a=18$, то $b+c=22$. Существует 7 решении в натуральных числах уравнения $b+c =22$ с условиями $18 > b \geq c$. Это пары $(17,5)$, $(16,6)$, $\dots$, $(11, 11)$. Все они удовлетворяют условию $a^2 > b^2+c^2$.
Если $a=19$, то $b+c=21$. Существует 8 решений в натуральных числах уравнения $b+c =21$ с условиями $19 > b \geq c$. Это пары $(18,3)$, $(17,4)$, $\dots$, $(11, 10)$. Также все они удовлетворяют условию $a^2 > b^2+c^2$.
Как видим, всего треугольников, удовлетворяющие условию задач, $3+7+8=18$.