Областная олимпиада по математике, 2015 год, 10 класс

В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle ABC = 30 ^\circ$, $AB >AC$ и $\angle BAC$ — тупой. Внутри этого треугольника выбрана такая точка $D$, что $BD=CD$ и $\angle BDA=3\angle BCA$. Найдите угол $ACD$.

Комментарий/решение

Два способа

1) Возьмем на продолжений луча $CD$ точку $I$ что $CD=DI$ тогда из условия следует что $\angle IBC = 90^{\circ}$ и $\angle BDI = 2 \angle BCD$ опишем около треугольника $IBC$ окружность $\omega$ радиус которого равен $CD$ , тогда пусть $AC$ пересекает $\omega$ в точке $H$ тогда $\angle IDH = 2 \angle ACD$ значит из условия $\angle BDA = 3 \angle ACB$ следует что $\angle ADH = \angle ACB$ пусть $J \in AB \cap \omega $ тогда $\angle AJH = \angle BCA = \angle ADH$ и так как $CDJ$ из условия следует что правильный, то $HDJ$ так же должен быть правильным, откуда $\angle DHJ = 30^{\circ}+ \angle CHD = 30^{\circ} + \angle ACD = 60^{\circ}$ или $\angle ACD = 30^{\circ}$

2) Положим что угол $\angle BCD=\angle DBC=x$, $\angle ACB=a$, если $ \angle ACD = \angle a-\angle x=\angle y$ , тогда из треугольников $\Delta ADB ; \Delta ADC$ .

Получим соотношение $\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{BD}{AD}$ или в угловой форме $\dfrac{\sin y}{\sin (a+y)}=\dfrac{\sin (\dfrac{\pi}{6}-x)}{\sin (\dfrac{5\pi}{6}-2a-y)}$ или что тоже самое $\sin (a+y) \cdot \sin (y-a+\dfrac{\pi}{6})=\sin (2a+y+\dfrac{\pi}{6}) \cdot \sin y$

преобразовывая получаем $\cos(2a+\dfrac{\pi}{6})-\cos(2a-\dfrac{\pi}{6}) = \cos(2a+2y+\dfrac{\pi}{6})-\cos(2y+\dfrac{\pi}{6}) \\ cosa=\sin(a+2y+\dfrac{\pi}{6}) \\ \angle y = 30^{\circ}$

Ответ $ \angle ACD = 30^{\circ}$

4-ая строчка ("или что тоже самое...") эквивалентна соотношению (1),поэтому тут есть дыра...