Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1997 год

Дано \[S=1+\frac{1}{1+\frac{1}{3}}+\frac{1}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}+\cdots +\frac{1}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\cdots +\frac{1}{1993006}},\] где знаменатели содержат частичные суммы последовательности обратных величин треугольных чисел (т.е. $k=n(n+1)/2$ для $n=1,2,\ldots ,1996$). Докажите, что $S > 1001$.

Комментарий/решение

$$S(n)= \sum_{k=1}^n \frac{2}{k(k+1)}=2\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=2\sum_{k=1}^n\frac{k+1-k}{k(k+1)}=$$

$$=2\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} -2\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+1}=2 \left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} -\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+1} \right)=$$

$$ =2\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{2}-...-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)=\frac{2n}{n+1}$$

$$ \sum_{n=1}^{1996} \frac{1}{S(n)}=\sum_{n=1}^{1996} \frac{n+1}{2n}=$$

$$ =\sum_{k=1}^{1996}\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{1996}\frac{1}{n}=998+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{1996}\frac{1}{n}>1001\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \sum_{k=1}^{1996}\frac{1}{n}>6$$

$$ \sum_{k=1}^{1996}\frac{1}{n}=1+\left[\frac{1}{2}\right]+\left[\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right]+...+$$

$$+\left[\frac{1}{513}+...+\frac{1}{1024}\right] +\sum_{k=1025}^{1996} \frac{1}{n}>$$

$$>1+\left[\frac{1}{2}\right]+\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right]+...+$$

$$+\left[\frac{1}{1024}+...+\frac{1}{1024}\right] +\sum_{k=1025}^{1996} \frac{1}{n}=$$

$$=1 +\left( \underbrace{\frac{1}{2}+...+ \frac{1}{2}}_{10} \right)+\sum_{k=1025}^{1996} \frac{1}{n}=$$

$$ =6+\sum_{k=1025}^{1996} \frac{1}{n}>6 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \sum_{k=1025}^{1996} \frac{1}{n}>0$$