22-я Балканская математическая олимпиадаЯссы, Румыния, 2005 год

Вписанная окружность остроугольного треугольника $ ABC $ касается сторон $ AB $ и $ AC $ в точках $ D $ и $ E $ соответственно. Пусть биссектрисы углов $ ACB $ и $ ABC $ пересекают прямую $ DE $ в точках $ X $ и $ Y $ соответственно, и $ Z $ — середина стороны $ BC $. Докажите, что треугольник $ XYZ $ равносторонний тогда и только тогда, когда $ \angle A = 60 ^\circ $.

Комментарий/решение

$Лемма$: В треугольнике $ABC$

Пусть $D,E$ - точки касания вписанной окружности с $AB,AC$ также пусть $CI \cap DE=X$ тогда $\angle CXB = 90$

$Д-во$: = $\angle BIX= 180-\angle BIC = 90-A/2$

$\angle EDB =\angle XDB =180 - (180-A)/2 = 90+A/2$

Поэтому $BDXI$ вписанный четырехугольник

Откуда $\angle BXC = \angle BXI = \angle IDB = 90$

$Решение$:Используя лемму получим $\angle CYB = \angle CXB = 90$

откуда $BXYC$ вписанный

Теперь $Z$ центр окружности описанной $CBCY$ откуда $ZC=ZB$

,$YZ=ZX$

Теперь углами $\angle CXY+\angle BYX = 60$ также

$\angle ZXC+\angle ZYB = B/2+C/2$

поэтому $\angle YXZ +\angle ZYX = B+X = 120$

откуда $\angle YZX = 60$ используя это с $YZ=ZX$ означает что $XYZ$ равносторонний