26-я Балканская математическая олимпиадаКрагуевац, Сербия, 2009 год

Пусть прямая $MN$ параллельна стороне $BC$ треугольника $ABC$, где $M$ принадлежит отрезку $AB$, а $N$ принадлежит отрезку $AC$. Прямые $BN$ и $CM$ пересекаются в точке $P$. Описанные окружности треугольников $BMP$ и $CNP$ пересекаются в двух различных точках $P$ и $Q$. Докажите, что $\angle BAQ=\angle CAP$.

Комментарий/решение

Пусть $AP \cap BC = X$.

Пусть $\angle BMQ = \angle ACQ = x$, $\angle QBA = \angle QNC = y$ и $\angle MQB = \angle NQC = z$.

Здесь мы делаем замечание, что $Q$ является точкой Микеля Четырехугольник с вершинами $B, M, A, N, C, P$ или же описанные окружности треугольников $\triangle NPC$,$\triangle BMP$,$\triangle CAM$,$\triangle ABN$ (которых проходят через одну точку)

$\frac{AQ}{\sin x} = \frac{MQ}{\sin \angle BAQ}$ и $\frac{AQ}{\sin y} = \frac{NQ}{\sin \angle CAQ}$ поэтому $\frac{\sin x}{\sin y} = \frac{\sin \angle BAQ}{\sin \angle CAQ} \cdot \frac{NQ}{MQ}$ (1).

$\frac{NQ}{\sin x} = \frac{NC}{\sin z}$ и $\frac{MQ}{\sin y} = \frac{MB}{\sin z}$ поэтому $\frac{NQ}{MQ} = \frac{\sin x}{\sin y} \cdot \frac{AC}{AB}$ (2).

(1), (2) $\implies \frac{\sin \angle BAQ}{\sin \angle CAQ} = \frac{AB}{AC}$, и хорошо известно, что из этого следует, что $AQ$ симедиана $\triangle ABC$.

Используя Чеву следует что $\frac{BM}{MA} \cdot \frac{AN}{NC} \cdot \frac{CX}{XB} = 1 \implies CX = BX$, так как $MN || BC$.Поэтому $AX$ медиана, следовательно $\angle BAQ = \angle CAQ$, что и завершает доказательство