26-я Балканская математическая олимпиадаКрагуевац, Сербия, 2009 год

Найдите все функции $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $, удовлетворяющих условию: $f\left( {{{\left( {f\left( m \right)} \right)}^2} + 2{{\left( {f\left( n \right)} \right)}^2}} \right) = {m^2} + 2{n^2},$ при всех $m$, $n \in \mathbb{N} $.

Комментарий/решение

$$f(3f^2(1))=3$$

$$f(3f^2(2))=12$$

$$...................$$

$$f(3f^2(n))=3\cdot n^2$$

$$3f^2(3f^2(n))=27\cdot n^4\Rightarrow 3f^2(x)\sim g(x) \Rightarrow g(g(x))=g(x)$$

$$g(x)=x\Rightarrow f(n)=n \Rightarrow f(x)=x$$

Пусть $A(m,n)$ — утверждение

$ f (f^2(m) + 2f^2(n)) = m^2 + 2 n^2$.

Прежде всего нужно показать, что $f$ инъективен.

Предположим, $f(a)=f(b)$.

Из $A(m,a)$,$A(m,b)$ следует, что $a=b$, то есть $f $, инъективен.

Предположим, $f(1)=a$.

$A(1,1)$ влечет $f(3a^2)=3$.

Если мы ищем числа $m_1,m_2,n_1,n_2$ такие, что $m_1^2+2n_1^2=m_2^2+2n_2^2$, мы видим, что

$(5,1,3,3), (1,4,5,2)$ — такие числа.

Теперь $A(5a^2,1a^2)$ ,$A(3a^2,3a^2)$ , $A(1a^2,4a^2)$ и $A(5a^2,2a^2 )$ подразумевают, что

$f(2a^2)=2,f(5a^2)=5,f(a^2)=1,f(4a^2)=4$(базовое вычисление)

Теперь, поскольку $x^2+2(x+3)^2=(x+4)^2+2(x+1)^2$ при условии, что для $n\le x+4$ ,$f(na^ 2)=n$, то это означает, что

из $A(xa^2,2(x+3)a^2)$,$A((x+4)a^2,(x+1)a^2)$ то $f((x+4 )а^2)=х+4$.

Итак, у нас есть $f(na^2)=n$, но теперь

$n=a$ имеем $f(a^3)=a=f(1)$ $\implies a=1$ $\implies$

$\boxed{f(n)=n}$, что действительно является решением.