Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ Алматы, 2009 год

Докажите, что для любого натурального числа $n$ существует $n$ различных натуральных чисел, произведение которых является полным кубом, а сумма — полным квадратом.

Комментарий/решение

Например: числа $1^3,2^3,3^3,...,n^3$. Очевидно что их произведение полный куб. А их сумма равна $(\dfrac{n(n+1)}{2})^2$, (это можно легко доказать через индукцию).