Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ Алматы, 2009 год

Докажите, что для всех действительных чисел $x,y,z\ge 0$ выполнено неравенство $$\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{3}\ge xyz+\frac{3}{4}\vert (x-y)(y-z)(z-x)\vert.$$

Комментарий/решение

Данное неравенство эквивалентна:

$4(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz) \geq 9|(x-y)(y-z)(z-x)$

Теперь заметим такие 2 неравенства:

$2(x+y+z)=(x+y)+(y+z)+(z+x) \geq |x-y|+|y-z|+|z-x| \geq 3 \sqrt[3]{|(x-y)(y-z)(z-x)|}$

$2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \geq 3 \sqrt[3]{|(x-y)(y-z)(z-x)|^2}$

Если перемножить эти две неравенства тогда выйдет неравенство сверху.