Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2001 год

Докажите, что для любых положительных $a,b,c,d,e$ выполняется следующее неравенство: $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{e}^{2}}\ge a\left( b+c+d+e \right).$$

Комментарий/решение

Сначала умножаем обе части неравенства на 4.

Тогда получиться $4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2 \geq 4a(b+c+d+e)$.

Из неравенства Коши следует, что $a^2+b^2\geq2ab$.

Тогда $4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2=(a^2+4b^2)+(a^2+4c^2)+(a^2+4d^2)+(a^2+4e^2)\geq4ab+4ac+4ad+4ae=4a(b+c+d+e)$

Жақшаны ашып, қосылғыштарды сол жаққа жинап, түрлендіріп келесі теңсіздікті аламыз

$$\frac{a^2}{4}-ab+b^2+\frac{a^2}{4}-ac+c^2+\frac{a^2}{4}-ad+d^2+\frac{a^2}{4}-ae+e^2\geq0$$

$$(\frac{a}{2}-b)^2+(\frac{a}{2}-c)^2+(\frac{a}{2}-d)^2+(\frac{a}{2}-e)^2\geq0$$

Д.К.О.