Городская Жаутыковская олимпиада, 11 класс, 2001 год

Найдите количество решений уравнения: $\left[ \dfrac{a}{2} \right]+\left[ \dfrac{a}{3} \right]+\left[ \dfrac{a}{5} \right]=a.$

Комментарий/решение

Ответ :решений бесконечно много

1) $a=6n,n\in Z $, $n $ не делится нацело на 5

2) $ a=10k;k\in Z $;$k $ не делится нацело на 3

3) $a=15m;m\in Z $; $m $ не делится нацело на 2

Решение. Во первых, сумма целых чисел -целое число,то есть $a\in Z $. Теперь, чтобы выяснить, какие из целых чисел удовлетворяет, а какие -нет , построим три оси $OX $ одна над другой. На первой оси отметим числа, кратные $2$, на второй оси-кратные $3$, на третьей оси-кратные $5$. Если на одном числе 2 или 3 палочки,соединим эти числа. В числе $30 $ совпали все три палочки. После числа $30$ цикл повторяется. Значит, вполне достаточно выяснить, почему какому принципу здесь находятся корни, и можно будет распространить это на всю ось $OX $. Корнями явились числа $6,12,18,24$, но НЕ , 30$

корни $10,20, $ но НЕ $30$;корни $15$, но НЕ $30$. Делаем гипотезу:корнями этого уравнения является

1) $a=6n, n \in Z $, где $n $ не делится нацело на 5

2) $a=10k;k∈Z$;$k$ не делится нацело на 3

3)$a=15m;m∈Z$; $m $ не делится нацело на 2

Доказательство.

1)$[\dfrac {6n}{2}]+[\dfrac {6n}{3}]+[\dfrac{ 6n}{5}]=[3n]+[2n]+[1\dfrac {1}{5}n] $

Так как $n $ не делится нацело на 5, то целая часть последнего слагаемое есть $n $

$[\dfrac {6n}{2}]+[\dfrac {6n }{3}]+[\dfrac{6n }{5}]=3n+2n+n=6n $, что верно

Аналогично доказывается случаи 2 и 3

Почему решение неверно? Кто первый обьяснит-ставлю лайк). Я не заметил никаких ошибок. Решение пишу подробно и доступно.

Возможно здесь:

$\left\lfloor \cfrac{6n}{5} \right\rfloor=\left\lfloor n+\cfrac{n}{5} \right\rfloor=n + \left\lfloor \cfrac{n}{5} \right\rfloor$

$\left\lfloor \cfrac{36}{5} \right\rfloor=\left\lfloor 7\cfrac{1}{5} \right\rfloor= 7$

P. S. Чтобы скобки были больше, можно писать \left[ и \right]

Заметим, что $a$ – целое число. Его можно представить в виде $a=30k+m$ единственным способом, где $0\le m<30$, $k$ и $m$ – целые. Также имеет место следующее свойство: если число $n$ целое, то $[n+x]=n+[x]$.

Значит, $\left[ \frac{a}{2} \right]+\left[ \frac{a}{3} \right]+\left[ \frac{a}{5} \right]=a$, $\left[ 15k+\frac{m}{2} \right]+\left[ 10k+\frac{m}{3} \right]+\left[ 6k+\frac{m}{5} \right]=30k+m$, откуда

$15k+\left[ \frac{m}{2} \right]+10k+\left[ \frac{m}{3} \right]+6k+\left[ \frac{m}{5} \right]=30k+m$, откуда $k+\left[ \frac{m}{2} \right]+\left[ \frac{m}{3} \right]+\left[ \frac{m}{5} \right]=m$, откуда

$k=m-\left[ \frac{m}{2} \right]-\left[ \frac{m}{3} \right]-\left[ \frac{m}{5} \right]$. То есть по любому заданному значению числа m ($0\le m<30$) однозначно определяется значение числа $k$, а вместе с ним решение уравнение, то есть число $a$. Так возможных значений числа $m$ всего 30, то исходное уравнение будет иметь 30 решений.

Так а где это вы увидели что числа целые?

Левая часть уравнения состоит из целых слагаемых, значит $a \in \mathbb{Z}$.

Стоит также заметить что сие уравнение не имеет решений в целых числах вообще. Вы можете просто подставив эти числа дабы удостовериться, я проверил лишь одно но считаю что так оно и есть.