Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2003 год

Докажите, что для любых допустимых значений $x,y,z$ выполняется равенство $\dfrac{x(y+z)}{(x-y)(x-z)}+\dfrac{y(x+z)}{(y-z)(y-x)}+\dfrac{z(x+y)}{(z-x)(z-y)}=-1.$

Комментарий/решение

Для решения этой задачи необходимо знать формулу сокращенного умножения $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Приведем множители к одному знаменателю , то есть к числу $(x-y)(x-z)(y-z)$.Получится $$\dfrac {x (y+z)(y-z)-y (x+z)(x-z)+z(x-y)(x+y)}{(x-y)(x-z)(y-z)}=-1$$. После сворачивания числителя по формуле сокращенного умножения, имеем $$x (y^2-z^2)-y (x^2-z^2)+z (x^2-y^2)=(x-y)(x-z)(z-y) $$. Раскроем скобки . Левая часть $$xy^2-xz^2-yx^2+yz^2+zx^2-zy^2$$ . Правая часть $$(x-y )(x-z )(z-y)=(x^2-xz+xy-yz)(z-y )=xy^2-xz^2-yx^2+yz^2+zx^2-zy^2$$отсюда следует, что исходное выражение тождество