Городская Жаутыковская олимпиада, 10-11 классы, 2003 год

Решите систему уравнений в действительных числах \[\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} + ... + {x_{2003}} = 2003, \\ x_1^4 + x_2^4 + ... + x_{2003}^4 = x_1^3 + x_2^3 + ... + x_{2003}^3. \\ \end{gathered} \right.\]

Комментарий/решение

Жауабы: $x_1=x_2=\cdots=x_{2003}=1.$

$$\left\{ \begin{gathered}x_1-1+x_2-1+\cdots+x_2003-1=0,\\ x_{1}^{4}-x_{1}^{3}+x_{2}^{4}-x_{2}^{3} +\cdots+x_{2003}^{4}-x_{2003}^{3}=0.\\ \end{gathered} \right.$$

$$\left\{ \begin{gathered}(x_1-1)+(x_2-1)+\cdots+(x_2003-1)=0,\\ x_{1}^{3}(x_1-1)+x_{2}^{3}(x_2-1)+\cdots+x_{2003}^{3}(x_2003-1)=0.\\ \end{gathered} \right.$$

Екі теңдеуді мүшелеп азайтсақ:

$$x_{1}^{3}(x_1-1)-(x_1-1)+x_{2}^{3}(x_2-1)-(x_2-1)+\cdots+x_{2003}^{3}(x_{2003}-1)-(x_{2003}-1)=0,$$

$$(x_1-1)(x_{1}^{3}-1)+(x_2-1)(x_{2}^{3}-1)+\cdots+(x_{2003}-1)(x_{2003}^{3}-1)=0,$$

$$(x_1-1)^2 (x_{1}^{2}+x_{1}+1)+(x_2-1)^2 (x_{2}^{2}+x_{2}+1)+\cdots+(x_{2003}-1)^2 (x_{2003}^{2}+x_{2003}+1)=0.$$

$$\forall x_i \in\mathbb{R}\Rightarrow x_{i}^{2}+x_{i}+1 \ge 0 және (x_i-1)^2 \geq 0.$$

Бұл теңдік тек $x_i-1=0$ болғанда ғана орындалады, демек $x_i=1.$