Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2004 год

Докажите неравенство: $$\left( m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2} \right)\left( h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2} \right)\ge 27\cdot {{S}^{2}},$$ где $S$ — площадь, ${{m}_{a}},{{m}_{b}},{{m}_{c}}$ — медианы, ${{h}_{a}},{{h}_{b}},{{h}_{c}}$ — высоты треугольника.

Комментарий/решение

Известно, что

$$m_c^2=\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{4},m_b^2=\dfrac{2a^2+2c^2-b^2}{4},m_a^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}.$$

Подставив в условие получаем, что достаточно доказать

$$(a^2+b^2+c^2)(h_a^2+h_b^2+h_c^2)\ge (6S)^2, $$

что следует из КБШ:

$$(a^2+b^2+c^2)(h_a^2+h_b^2+h_c^2)\ge (ah_a+bh_b+ch_c)^2=(2S+2S+2S)^2=(6S)^2.\quad\blacksquare $$