Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2005 год

В треугольнике $ABC$ биссектриса $AE$ равна отрезку $EC$. Найдите угол $ABC$, если $AC=2AB$.

Комментарий/решение

Пусть $M$ - середина $AC$. Тогда треугольники $ABE$ и $AME$ равны по двум сторонам ($AM= \frac{AC}{2}=AB$) и углу между ними ($AE$ - биссектриса). Значит $∠ABE=∠AME$. Т.к. $EM$ - медиана равнобедренного треугольника $AEC$ ($AE=EC$), то $EM$ - его высота, т.е. $∠AME=90°$.

Итак, $∠ABC=∠ABE=∠AME=90°$.

Ответ: $∠ABC=90°$