Районная олимпиада, 2007-2008 учебный год, 10 класс

Пусть $a$, $b$, $c$ — неотрицательные числа. Докажите, что $ab+bc+ca \geq \sqrt {3abc(a + b + c)}$.

Комментарий/решение

$ab+bc+ca\geq \sqrt{3abc(a+b+c)} \Leftrightarrow (ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c).$

$(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx), x=ab, y=bc,z=ca.$

$(ab+bc+ca)^2 \geq 3(a^2bc+ab^2c+abc^2)$ немесе $(ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c).$