Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2011 год

На столе лежат 35 кучек орехов. Разрешается добавлять по одному ореху к любым 23 кучкам. Докажите, что повторяя эту операцию, можно уравнять все кучки.

Комментарий/решение

Рассмотрим еще одну операцию – удаление из всех кучек по 2 ореха. Ее выполнение не влияет на равенство кучек. Добавим по одному ореху к кучкам $1, 2, … , 23$, потом к кучкам $24, 25, … , 35, 1, 2 …, 11$, а затем к кучкам $12, 13, …, 34$; после чего удалим из всех кучек по 2 ореха. Эта операция уменьшает количество орехов в одной из куч на 1. Проводя подобные операции, можно сделать все кучи нулевыми.