Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2010 год

На сторонах $BC$ и $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ выбраны точки ${{A}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$. Отрезки $A{{A}_{1}}$ и $C{{C}_{1}}$ пересекаются в точке $K$. Описанные окружности треугольников $A{{A}_{1}}B$ и $C{{C}_{1}}B$ пересекаются в точке $P$. Оказалось, что точка $P$ — центр вписанной окружности треугольника $AKC$. Докажите, что $P$ — ортоцентр треугольника $ABC$.