Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2012 год

Найдите такие числа $a,b,p,q$ чтобы равенство ${{\left( 2x-1 \right)}^{20}}-{{\left( ax+b \right)}^{20}}={{\left( {{x}^{2}}+px+q \right)}^{10}}$ выполнялось при любых $x$.

Комментарий/решение

Ответ $a = (2^{20}-1)^{1/20};b=-5\cdot (2^{20}-1)^{1/20};p=-5;q=25$

$a = -(2^{20}-1)^{1/20};b=+5\cdot (2^{20}-1)^{1/20};p=-5;q=25$

______________________________________________________________________

1)Пусть $f(x)=(2x-10)^{20} = v_{20}x^{20}+v_{19}x^{19}+\ldots+v_1x+v_0$

Тогда $v_{20} = 2^{20}$

2)Пусть $g(x)=(ax-b)^{20} = w_{20}x^{20}+w_{19}x^{19}+\ldots+w_1x+w_0$

Тогда $w_{20} = a^{20}$

3)Пусть $\varphi(x) = (x^2+px+q)^{10}=x^{20}+\ldots+q^{10}$. Так как $f(x)-g(x)=\varphi(x)$, то

$$v_{20}-w_{20} = 1$$

4)Из (3) вычислим значение $a$

$$w_{20} = v_{20}-1 = 2^{20}-1\Rightarrow a=(2^{20}-1)^{1/20}$$

5)Заметим, что $f(5) = 0;g(5)\ge 0;\varphi(5)\ge 0$

$$f(5)-g(5)\le 0;\;\;\varphi(5)\ge 0$$

Равенство левой и правой частей возможно только при $g(5)=0;\varphi(5)=0$

6)Из (5) следует $|a\cdot 5 + b| = 0\rightarrow b=-5a=-5\cdot (2^{20}-1)^{1/20}$

7)Уравнение $f(x)-g(x)$ имеет один корень $x=5$. Поэтому, для равенства правой и левой частей уравнения при любых $x$, и правая часть должна иметь один корень

Значит, $\varphi(x)=(x-5)^{20}=(x^2-5x+25)^{10}$

8)Теорема: Если два многочлена одной степени имеют равные старшие коэффициенты, а также все корни у них совпадают, то такие многочлены равны.

Доказательство: Разложим два таких многочлена на множители

$$f_1 = C_1(x-x_1)(x-x_2)\ldots (x-x_N)$$

$$f_2 = C_2(x-x_1)(x-x_2)\ldots (x-x_N)$$

Так как $C_1=C_2$, то $f_1=f_2$

9)Из (8) следует, что

$$(2x-10)^{20} - ((2^{20}-1)^{1/20}\cdot x-5\cdot (2^{20}-1)^{1/20})^{20} = (x^2-5x+25)^{10}$$