Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2014 год

Докажите, что число ${{7}^{37}}+{{13}^{37}}+{{19}^{37}}$ кратно 39.

Комментарий/решение

39=3*13 Если мы докажем что 7^37+13^37+19^37 кратно на 3 и 13 ,то мы докажем задачу .7^37=1(mod 3) 13^37=1(mod 3) 19^37=1(mod 3)то кратно на 3.13^37=0(mod 13)

7^37=$-6$^37(mod 13),а 6^37=6^37(mod 13) ,то 7^37+6^37 делиться на 13,так как -6^37+6^37=0.