Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 10 класс

Пусть $a$, $b$ и $c$ действительные положительные числа, такие, что $abc=1$. Докажите, что $$ 2\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right) + a + b + c \geq 6 + ab + bc + ac. $$

Комментарий/решение

$2(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c) \geqslant 6+(ab+bc+ca)$.

Используя неравенство $a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca$, получим, $(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c) \geqslant 6$.

Используя неравенства средних и $abc=1$, получим $a^2+b^2+c^2 \geqslant 3$, $a+b+c \geqslant 3$.

$a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3$

$a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{abc}=3$

$a^2+b^2+c^2+6\geq 6+ab+bc+ac$

$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$

$2(a^2+b^2+c^2)\geq 2ab+2ac+2bc$

$a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2\geq 2ab+2bc+2ca$