32-я Балканская математическая олимпиадаАфины, Греция, 2015 год

Пусть $a,b,c$ — действительные положительные числа. Докажите неравенство \[{a^3}{b^6} + {b^3}{c^6} + {c^3}{a^6} + 3{a^3}{b^3}{c^3} \ge abc\left( {{a^3}{b^3} + {b^3}{c^3} + {c^3}{a^3}} \right) + {a^2}{b^2}{c^2}\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\]

Комментарий/решение

Следует из неравенства

$$x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$$

где $x=ab^2, y=bc^2, z=ca^2$

Участники Balkan MO 2016:

http://www.bmo2016.al/index.php/countries/90-kazakhstan