32-я Балканская математическая олимпиада
Афины, Греция, 2015 год


В остроугольном разностороннем треугольнике $ ABC $ точка $I$ — центр вписанной окружности, а $\omega$ — описанная около него окружность. Прямые $AI$, $BI$ и $CI$ во второй раз пересекают $\omega$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Прямые, проходящие через $I$ и параллельные сторонам $BC$, $AC$, $AB$, пересекают прямые $EF$, $DF$, $DE$ в точках $K$, $L$, $M$ соответственно. Докажите, что точки $K$, $L$, $M$ лежат на одной прямой.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
2021-05-10 01:46:02.0 #

Заметим что $DE$ серединный перпендикуляр $CI$ поэтому $MC=MI$. Аналогично , $LB=LI , KA=KI$

Используя факт что $MI\parallel AB$ откуда следует что $\angle{MCI}=\angle{MIC}=\angle{B}+\frac12 \angle{C}=\angle{FBC}$

Откуда $MC$ касательная к описанной окружности $(ABC)$

Откуда по Теореме Синусов $\Delta EMC:$

$\frac{EM}{MC}=\frac{sin\frac{\angle{B}}{2}}{sin\frac{\angle{A}}{2}}$

Также $\frac{sin^2\frac{\angle{B}}{2}}{sin^2\frac{\angle{A}}{2}}=\frac{EM^2}{MC^2}=\frac{EM^2}{EM.MD}=\frac{EM}{MD}$

Аналогично , $ \frac{sin^2\frac{\angle{A}}{2}}{sin^2\frac{\angle{C}}{2}}=\frac{DL}{LF} , \frac{sin^2\frac{\angle{C}}{2}}{sin^2\frac{\angle{B}}{2}}=\frac{FK}{KE}$

Следовательно $\frac{EM}{MD}.\frac{DL}{LF}.\frac{FK}{KE}=1$ и используя Теорему Менелая оно завершает доказательство