3-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Пловдив, Болгария, 1999 год

Пусть $ a,b,c,x,y$ — действительные числа такие, что $ a^3 + ax + y = 0$, $ b^3 + bx + y = 0$ и $ c^3 + cx + y = 0$. Докажите, что если $ a,b,c$ попарно различные числа, что их сумма равна 0. ( Ciprus )

Комментарий/решение

$$\left\{ \begin{gathered} a^3+ax+y=0 \\ b^3+bx+y=0 \\ c^3+cx+y=0 \\ \end{gathered} \right.$$

$$\left\{ \begin{gathered} (a-b)(a^2+ab+b^2+x)=0 \\ (b-c)(b^2+bc+c^2+x)=0 \\ (c-a)(c^2+ca+a^2+x)=0 \\ \end{gathered} \right.$$

$$ a \ne b \ne c \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a^2+ab+b^2+x=0 \\ b^2+bc+c^2+x=0 \\ \end{gathered} \right.$$

$$(a^2-c^2)+b(a-c)+(b^2-b^2)+(x-x)=(a-c)(a+b+c)=0 \Rightarrow a+b+c=0$$

Рассмотрим кубический многочлен $$P(z)=z^3+zx+y$$

Из условия $P(a)=P(b)=P(c)=0$ и $a,b,c$ - различные числа. Поэтому $a,b,c$ - все корни $P(z)$, откуда из Теоремы Виета получаем, что $$a+b+c=0$$