Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 10 класс

Решите систему уравнений $$\left\{ \begin{array}{rcl} x^{2006} + y^{2006} + z^{2006} = 2, \\ x^{2007} + y^{2007} + z^{2007} = 2,\\ x^{2008} + y^{2008} + z^{2008} = 2,\\ \end{array} \right. $$ где $x$, $y$, $z$ — действительные числа.

Комментарий/решение

Пронумеруем уравнения от 1 до 3 сверху вниз . Из второго вычтем первое и получим $x^{2006}(x-1)+y^{2006}(y-1)+z^{2006}(z-1)=0$.(4) . Из третьего вычтем второе и получим $x^{2007}(x-1)+y^{2007}(y-1)+z^{2007}(z-1)=0$.(5) .Из 5 вычтем 4 и получим$ x^{2006}(x-1)(x-1)+y^{2006}(y-1)(y-1)+z^{2006}(z-1)(z-1)=0$. Если сумма квадратов равна 0 , то каждый из них равен 0.

Ответ: 1)$x=0,y=1,z=1$

2)$x=1,y=0,z=1$

3)$x=1,y=1,z=0$