15-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровЛарнака, Кипр, 2011 год

Пусть $a$, $b$, $c$ — положительные действительные числа такие, что $abc=1$. Докажите, что $$\prod (a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)\ge 8(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1).$$ (Произведение берется по всем переменным.)

Комментарий/решение

$$\prod \limits {(a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)}=\prod \limits {(a^3+1)} \cdot \prod \limits {(a^2+a+1)} \Rightarrow$$

$$ \Rightarrow \prod \limits {(a^3+1)} \cdot \prod \limits {(a^2+a+1)} \geq 8\prod \limits {(a^2+a+1)} \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \prod \limits {(a^2+a+1)} \cdot \left( (a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)-8\right)\geq 0\Rightarrow$$

$$ \forall x\in \mathbb{R} \Rightarrow f(x)=x^2+x+1>0 \Rightarrow f(a)\cdot f(b) \cdot f(c) >0\Rightarrow $$

$$ \Rightarrow (a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)\geq 8 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow (a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)\geq 8\sqrt{(abc)^3} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a^3+1\geq 2\sqrt{a^3} \\ b^3+1\geq 2\sqrt{b^3} \\ c^3+1\geq 2\sqrt{c^3} \\ \end{gathered} \right.$$