16-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Верия, Греция, 2012 год

Пусть окружности $k_1$ и $k_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$, и пусть $t$ — общая касательная прямая к окружностям $k_1$ и $k_2$, которая касается их в точках $M$ и $N$ соответственно. Если $t \perp AM$ и $MN=2AM$, то чему равен угол $NMB$?

Комментарий/решение

Продлеваем $AB$ до пересечения с $MN$, пусть $C \in AB \cap MN$. Мы знаем, что $AB$ - радикальная ось для данных окружностей, то есть $CM^2=CN^2, \Rightarrow CM=CN$. По условию $2AM=MN, \Rightarrow AM=MC$, то есть $\angle NMB=45$, так как $MB$ - высота и биссектриса для $\triangle AMC $

допустим что NMB не 45 тогда давайте выберем точку Х как центр MN тогда допустим что прямая AO пересекает первую окружность в точке С тогда давайте продолжим отрезок

MC до такой точки L что угол NLM прямой тогда давайте скажем что AX пересекает первую окружность в точке S тогда по счету можно найти что AX параллельна LN тогда выберем на прямой AX такую точку G что GLNX параллелограм тогда заметим что LG=

=NX также заметим что если LG пересекает AM в точке I то четырехугольник XMIL

прямоугольник тогда LI=XM но LI>XM

Легенда, решать геому от противного.

имею право