Математикадан жасөспірімдер арасындағы 17-ші Балкан олимпиадасы 2013 жыл, Анталья, Турция

$AB < AC$ болатындай сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышы берілген және $O$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған $\omega$ шеңберінің центрі болсын. $D$ нүктесі $\angle BAD = \angle CAO$ болатындай $BC$ қабырғасынан алынған. $AD$ түзуі екінші рет $\omega$ шеңберін $E$ нүктесінде қияды. $M$, $N$, $P$ нүктелері сәйкесінше $BE$, $OD$ және $AC$ кесінділерінің орталары болсын. $M$, $N$ және $P$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

По счету углов легко получаем что $AD$ высота и то что $MD \bot AC$ и $OP \bot AC$ отсюда $MD//OP$ аналогично $DP//MO$ следовательно $MDPO$-параллелограмм значит $MP$ проходит через середину $OD$.