33-я Международная Математическая OлимпиадаРоссия, Москва, 1992 год

Найти все целые числа $a,b,c$ такие, что $1 < a < b < c$ и число $\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)\left( c-1 \right)$ является делителем числа $abc-1$.

Комментарий/решение

Заметим что число $ \frac{abc - 1}{(a - 1)(b - 1)(c - 1)} $ должно быть целым. Пусть $a - 1 = x, b - 1 = y, c - 1 = z$. Тогда $$ \frac{abc - 1}{(a - 1)(b - 1)(c - 1)} = \frac{xyz + xy + yz + zx + x + y + z}{xyz} = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} $$. Так как число 1 - целое, то $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} = S \in \mathbb{Z} $$. Заметим, что максимум значения $S$ достигается при $a = 2, b = 3, c = 4$ (т. е. $x = 1, y = 2, z = 3$) и равен $$ \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 1} = \frac{6 + 3 + 2 + 3 + 1 + 2}{6} = \frac{17}{6} < 3$$ . Осталось рассмотреть два случая:

1 случай. $S = 2$. Если $x > 1$, то $S < 2$, следовательно, $x = 1$. Далее получаем $$ 1 + \frac{2}{y} + \frac{2}{z} + \frac{1}{yz} = 2 \Leftrightarrow 2y + 2z + 1 = yz \Leftrightarrow 5 = (y - 2)(z - 2)$$ . Так как $z > y > x = 1$ и число 5 - простое, то $y - 2 = 1, z - 2 = 5$. Откуда $x = 1, y = 3, z = 7$, то есть $a = 2, b = 4, c = 8$.

2 случай. $S = 1$. Если $x = 1$, то $S > 1$, следовательно, $x > 1$. Если $x = 3$, то $S < 1$, следовательно, $x = 2$. Теперь получаем $$ \frac{1}{2} + \frac{3}{y} + \frac{3}{z} + \frac{1}{yz} = 1 \Leftrightarrow 6y + 6z + 2 = yz \Leftrightarrow 38 = (y - 6)(z - 6) $$ . Так как $ 38 = 1 \cdot 38 = 2 \cdot 19$ , то $$( x, y ,z) = ( 2, 7, 44); ( 2, 8, 15);$$ , то есть в общем получаем три решения $$(a, b ,c) = (2, 4, 8); (3, 8 ,45); (3, 9, 16)$$.

Ответы $(2,4,8)$ и $(3,5,15)$

Утверждение: Числа $(a,b,c)$ имеют одинаковую четность.

Д-во: В противном случае $(a-1)(b-1)(c-1)$ четное но $abc-1$ нечетное

Утверждение: Мы имеем $a < 4$.

Д-во: Так как \[ 2 < \frac{abc}{(a-1)(b-1)(c-1)} < \frac{a}{a-1} \cdot \frac{a+2}{a+1} \cdot \frac{a+4}{a+3} \] отсюда следует результат

В этот момент $x=a-1$, $y=b-1$, $z=c-1$; тогда условие переписывается как \[ xyz \mid xy+yz+zx+x+y+z \] и мы знаем $(x,y,z)$ одинаковой четности.

Мы рассматриваем два случая. Если [*]$x=1$ тогда уравнение имеет вид \[ yz \mid 2(y+z)+1. \] Это не удается, если $yz > 2(y+z)+1 \iff (y-2)(z-2) > 5$, так что проверьте $(y,z) \in \left\{ (3,5), (3,7) \right\}$.

[*]Если $x=2$ тогда пусть $y=2r$ and $z=2s$; получаем уравнение \[ 4rs \mid 2rs + 3r + 3s + 1. \] [*]Если $4rs = 2rs+3r+3s+1$ тогда $(2r-3)(2s-3) = 11$, $r=2$ and $s=7$, которая работает [*]В противном случае мы имеем $8rs > 2rs+3r+3s+1$, поэтому уравнение не работает.