34-я Международная Математическая OлимпиадаТурция, Стамбул, 1993 год

Пусть $N=\left\{ 1,2,3,\ldots \right\}$. Выяснить, существует ли функция $f:N\to N$ такая, что $f\left( 1 \right)=2$, $f(f(n))=f(n)+n$ для всех $n\in N$ и $f(n) < f(n+1)$ для всех $n\in N$.

Комментарий/решение

Да.

Пусть Ф это ряд фибоначи без первого элемента, то есть Ф={1, 2, 3, 5, 8 ...}. Пусть фунция $f( x_i ) = x_(i+1)$,для любого x_n, где x_n это элемент последовательности фибоначи номер n по счету сначала. Тогда

f(f(x_i)) = f(x_i) + x_i => f(x_(i+1)) = x_(i+1) + x_i = > x_(i+2) = x_(i+1) + x_i .

Что очевидно верно. Для значений переменной f(n) котороые не входят в множество ряда фибоначи. Вывод самой функции должен не быть равен элементу из множества ряда Фибоначи, тогда

f(f(n)) = f(n) + n => f(k) = k + n

Непонятно, какой у вас ответ?

Ответ: да. Посмотрите первую строчку. Но все таки решение неверною. Я заметил ошибку только после того как выложил его.