38-я Международная Математическая OлимпиадаАргентина, Мар-дель-Плата, 1997 год

Найдите все пары $\left( a,b \right)$ натуральных чисел такие, что ${{a}^{{{b}^{2}}}}={{b}^{a}}$.

Комментарий/решение

$a>b$

$a=b^k$ мы можем это легко доказать

$b^{b^2k} = b^{b^k}$

$b^2k=b^k$

$k=b^{k-2}$

$b\geq 4$

$b^{k-2}\geq4^{k-2}>k$

$1)$$b=1,a=1$

$2)$$b=2\Rightarrow a^4=2^a \Rightarrow a=16$

$3)$$b=3 \Rightarrow a^9=3^a \Rightarrow a=27$

"мы можем это легко доказать" - мы не можем, потому что это неправда

(⁠ノ⁠ಠ⁠益⁠ಠ⁠)⁠ノ⁠彡⁠┻⁠━⁠┻

АХАХАХАХХАА

там есть два слуая $a> b; b> a $ разбирая первый у нас логично будет выходить $a=b^k$ а во втором наоборот $b = a^k$,

$ a^{a^{2k}} = a^{ak} $$\Rightarrow$ $a^{2t} = at$, логично что это невозможно если$a > 1$ я забыл это написать случай равенства логичен как мне кажется