Математикадан 38-ші халықаралық олимпиада, 1997 жыл, Мар-дель-Плата


${{a}^{{{b}^{2}}}}={{b}^{a}}$ орындалатындай барлық $\left( a,b \right)$ натурал сандар жұбын табыңыздар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  11
2023-04-11 10:32:53.0 #

$a>b$

$a=b^k$ мы можем это легко доказать

$b^{b^2k} = b^{b^k}$

$b^2k=b^k$

$k=b^{k-2}$

$b\geq 4$

$b^{k-2}\geq4^{k-2}>k$

$1)$$b=1,a=1$

$2)$$b=2\Rightarrow a^4=2^a \Rightarrow a=16$

$3)$$b=3 \Rightarrow a^9=3^a \Rightarrow a=27$

пред. Правка 2   5
2023-04-11 15:25:31.0 #

"мы можем это легко доказать" - мы не можем, потому что это неправда

(⁠ノ⁠ಠ⁠益⁠ಠ⁠)⁠ノ⁠彡⁠┻⁠━⁠┻

  0
2023-04-11 17:26:16.0 #

АХАХАХАХХАА

пред. Правка 2   9
2023-04-12 10:13:31.0 #

там есть два слуая $a> b; b> a $ разбирая первый у нас логично будет выходить $a=b^k$ а во втором наоборот $b = a^k$,

$ a^{a^{2k}} = a^{ak} $$\Rightarrow$ $a^{2t} = at$, логично что это невозможно если$a > 1$ я забыл это написать случай равенства логичен как мне кажется