40-я Международная Математическая OлимпиадаРумыния, Бухарест, 1999 год

Две окружности ${{\Gamma }_{1}}$ и ${{\Gamma }_{2}}$, содержащиеся внутри окружности $\Gamma $, касаются $\Gamma $ в различных точках $M$ и $N$ соответственно. Окружность ${{\Gamma }_{1}}$ проходит через центр окружности ${{\Gamma }_{2}}$. Прямая, проходящая через две точки пересечения окружностей ${{\Gamma }_{1}}$ и ${{\Gamma }_{2}}$, пересекает окружность $\Gamma $ в точках $A$ и $B$. Прямые $MA$ и $MB$ пересекают ${{\Gamma }_{1}}$ в точках $C$ и $D$ соответственно. Докажите, что $CD$ касается ${{\Gamma }_{2}}$.

Комментарий/решение

$NA \cap \Gamma_2=P,NB \cap \Gamma_2=Q$.

$(i):$

Используем широко известную лемму и ее следствие:

(Лемма Архимеда) Пусть окружность $\omega_1$ касается окружности $\omega$ в точке $P$ ( $\omega_1$ внутри $\omega$). Пусть хорда $AB$ окружности $\omega$ касается $\omega_1$ в точке $Q$. Тогда $PQ$ проходит через середину дуги $AB$.

(Следствие) Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ находятся внутри окружности $\omega$ и касаются ее. Тогда их радикальная ось проходит через середину дуги, отсекаемой одной из общих внешних касательных.

Тем самым имеем, что раз $MC$ и $NP$ проходят через $A$ то $CP$ общая внешняя касательная к $\Gamma_1,\Gamma_2$. Таким же образом $DQ$ их общая внешняя касательная.

$(ii):$

Требуется установить, что $\Gamma_2$ - вписанная окружность треугольника, образованного прямыми $CP,DQ,CD$. Это известный факт:

Пусть $I$ - инцентр $ABC$ $(AB=AC)$. Тогда окружность, касающаяся $AB,AC$ в $B,C$ соответственно проходит через $I$. Это завершает доказательство, так как $\Gamma_1$ проходит через центр $\Gamma_2$.