Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 11 класс

Номер автобусного билета состоит из шести цифр (первые цифры могут быть нулями). Билет называется счастливым, если сумма первых трех цифр равна сумме последних трех. Докажите, что сумма номеров всех счастливых билетов делится на 13.

Комментарий/решение

Районная олимпиада , 2006 – 2007 учебный год, 11 класс

Номер автобусного билета состоит из шести цифр (первые цифры могут быть нулями) . Билет называется счастливым, если сумма последних трех цифр равна сумме последних трех. Докажите, что сумма номеров всех счастливых билетов делится на 13.

Шешуі: Алғашқы үш цифрының қосындысымен соңғы үш цифрының қосындысы n - ге тең болатын барлық билеттердің саны an болсын. Олай болса, бақытты билеттердің саны: S = a_(0 ) 〖+ a〗_1+a_2+⋯+a_27

Осыдан a_0 = a_27 , a_1 = a_26,…,a_13 = a_14 екeндігін аңғаруға болады.

Ендеше, S = 2( a_(0 ) 〖+ a〗_1+⋯+a_13) b_n – x + y + z = n теңдеуінің бүтін оң шешімдерінің саны делік, демек b_n = c_(n+2)^2 = ((n+2)(n+1))/2 болады.

Бұдан , b_0 = 1, b_1=3,b_2=6,b_3=10,b_4=15,〖 b〗_5=21,〖 b〗_6=28,b_7=36,b_8=45,b_9=55,b_10=66,b_11=78,b_12=91,b_13=105.

b_10=66 , 10>9 яғни x,y,z айнымалылары тек 0 – ден 9-ға дейінгі мәндерді қабылдайтындықтан b_n – нің осы айнымалылардың қабылдайтын мәндеріне сәйкес емес артық шешімдерінің санын қарастырмаймыз. Сонымен, 10≤n≤13 болғандағы b_n – нің бүтін оң шешімдерінің саны артық шешімдер болып табылады. Енді x, y, z – тің 0 – ден 9 – ға дейінгі қабылдайтын мәндеріне сәйкес бүтін оң шешімдерінің санын c_(n ) деп белгілесек,

осыдан c_0= b_0,c_1=b_1,…,c_9= b_9. c_10,c_11,c_12,c_13 табу үшін b_n – нің табылған бүтін оң шешімдерінің санынан артық бүтін оң шешімдерінің санын азайтамыз. b_10 – үшін сәйкесінше 9,18,30 артық шешім бар. Демек, с_11=69,c_12=73,c_13=75,a_n= c_n^2 болатындығын байқауға болады. Бұдан a_0=1,a_1=9,a_2=36, a_3=100,a_4=225,a_5=441,a_6=784,a_7=1296,a_8=2025,a_9=3025, a_10=3969, a_11=4761,a_13=5625,

a_0=1 болғанда бір бақытты билеттің цифрлары тек 0 – ден тұратындықтан

S = 2( 9+36+100+225+441+784+1296+2025+3025+3969+4761+5329+5625)=

= 2∙27625 =55250. 55250 ∶ 13 = 4250

Районная олимпиада , 2006 – 2007 учебный год, 11 класс

Номер автобусного билета состоит из шести цифр (первые цифры могут быть нулями) . Билет называется счастливым, если сумма последних трех цифр равна сумме последних трех. Докажите, что сумма номеров всех счастливых билетов делится на 13.

Шешуі: Алғашқы үш цифрының қосындысымен соңғы үш цифрының қосындысы n - ге тең болатын барлық билеттердің саны an болсын. Олай болса, бақытты билеттердің саны: S = a_(0 ) 〖+ a〗_1+a_2+⋯+a_27

Осыдан a_0 = a_27 , a_1 = a_26,…,a_13 = a_14 екeндігін аңғаруға болады.

Ендеше, S = 2( a_(0 ) 〖+ a〗_1+⋯+a_13) b_n – x + y + z = n теңдеуінің бүтін оң шешімдерінің саны делік, демек b_n = c_(n+2)^2 = ((n+2)(n+1))/2 болады.

Бұдан , b_0 = 1, b_1=3,b_2=6,b_3=10,b_4=15,〖 b〗_5=21,〖 b〗_6=28,b_7=36,b_8=45,b_9=55,b_10=66,b_11=78,b_12=91,b_13=105.

b_10=66 , 10>9 яғни x,y,z айнымалылары тек 0 – ден 9-ға дейінгі мәндерді қабылдайтындықтан b_n – нің осы айнымалылардың қабылдайтын мәндеріне сәйкес емес артық шешімдерінің санын қарастырмаймыз. Сонымен, 10≤n≤13 болғандағы b_n – нің бүтін оң шешімдерінің саны артық шешімдер болып табылады. Енді x, y, z – тің 0 – ден 9 – ға дейінгі қабылдайтын мәндеріне сәйкес бүтін оң шешімдерінің санын c_(n ) деп белгілесек,

осыдан c_0= b_0,c_1=b_1,…,c_9= b_9. c_10,c_11,c_12,c_13 табу үшін b_n – нің табылған бүтін оң шешімдерінің санынан артық бүтін оң шешімдерінің санын азайтамыз.b_0 үшін артық шешімнің саны үшеу ,ендеше

с10 = 66 – 3 =63. b_(11,) b_12,b_13 – үшін сәйкесінше 9,18,30 артық шешім бар. Демек, с_11=69,c_12=73,c_13=75,a_n= c_n^2 болатындығын байқауға болады. Бұдан a_0=1,a_1=9,a_2=36, a_3=100,a_4=225,a_5=441,a_6=784,a_7=1296,a_8=2025,a_9=3025, a_10=3969, a_11=4761,a_13=5625,

a_0=1 болғанда бір бақытты билеттің цифрлары тек 0 – ден тұратындықтан

S = 2( 9+36+100+225+441+784+1296+2025+3025+3969+4761+5329+5625)=

= 2∙27625 =55250. 55250 ∶ 13 = 4250

Районная олимпиада , 2006 – 2007 учебный год, 11 класс

Номер автобусного билета состоит из шести цифр (первые цифры могут быть нулями) . Билет называется счастливым, если сумма последних трех цифр равна сумме последних трех. Докажите, что сумма номеров всех счастливых билетов делится на 13.

Шешуі: Алғашқы үш цифрының қосындысымен соңғы үш цифрының қосындысы n - ге тең болатын барлық билеттердің саны an болсын. Олай болса, бақытты билеттердің саны: S = a_(0 ) 〖+ a〗_1+a_2+⋯+a_27

Осыдан a_0 = a_27 , a_1 = a_26,…,a_13 = a_14 екeндігін аңғаруға болады.

Ендеше, S = 2( a_(0 ) 〖+ a〗_1+⋯+a_13) b_n – x + y + z = n теңдеуінің бүтін оң шешімдерінің саны делік, демек b_n = c_(n+2)^2 = ((n+2)(n+1))/2 болады.

Бұдан , b_0 = 1, b_1=3,b_2=6,b_3=10,b_4=15,〖 b〗_5=21,〖 b〗_6=28,b_7=36,b_8=45,b_9=55,b_10=66,b_11=78,b_12=91,b_13=105.

b_10=66 , 10>9 яғни x,y,z айнымалылары тек 0 – ден 9-ға дейінгі мәндерді қабылдайтындықтан b_n – нің осы айнымалылардың қабылдайтын мәндеріне сәйкес емес артық шешімдерінің санын қарастырмаймыз. Сонымен, 10≤n≤13 болғандағы b_n – нің бүтін оң шешімдерінің саны артық шешімдер болып табылады. Енді x, y, z – тің 0 – ден 9 – ға дейінгі қабылдайтын мәндеріне сәйкес бүтін оң шешімдерінің санын c_(n ) деп белгілесек,

осыдан c_0= b_0,c_1=b_1,…,c_9= b_9. c_10,c_11,c_12,c_13 табу үшін b_n – нің табылған бүтін оң шешімдерінің санынан артық бүтін оң шешімдерінің санын азайтамыз.b_0 үшін артық шешімнің саны үшеу ,ендеше

с10 = 66 – 3 =63. b_(11,) b_12,b_13 – үшін сәйкесінше 9,18,30 артық шешім бар. Демек, с_11=69,c_12=73,c_13=75,a_n= c_n^2 болатындығын байқауға болады. Бұдан a_0=1,a_1=9,a_2=36, a_3=100,a_4=225,a_5=441,a_6=784,a_7=1296,a_8=2025,a_9=3025, a_10=3969, a_11=4761,a_13=5625,

a_0=1 болғанда бір бақытты билеттің цифрлары тек 0 – ден тұратындықтан

S = 2( 9+36+100+225+441+784+1296+2025+3025+3969+4761+5329+5625)=

= 2∙27625 =55250. 55250 ∶ 13 = 4250

я не понял решение, скинь еще раз

гений

токсик

Районная олимпиада , 2006 – 2007 учебный год, 11 класс

Номер автобусного билета состоит из шести цифр (первые цифры могут быть нулями) . Билет называется счастливым, если сумма последних трех цифр равна сумме последних трех. Докажите, что сумма номеров всех счастливых билетов делится на 13.

Шешуі: Алғашқы үш цифрының қосындысымен соңғы үш цифрының қосындысы n - ге тең болатын барлық билеттердің саны an болсын. Олай болса, бақытты билеттердің саны: S = a_(0 ) 〖+ a〗_1+a_2+⋯+a_27

Осыдан a_0 = a_27 , a_1 = a_26,…,a_13 = a_14 екeндігін аңғаруға болады.

Ендеше, S = 2( a_(0 ) 〖+ a〗_1+⋯+a_13) b_n – x + y + z = n теңдеуінің бүтін оң шешімдерінің саны делік, демек b_n = c_(n+2)^2 = ((n+2)(n+1))/2 болады.

Бұдан , b_0 = 1, b_1=3,b_2=6,b_3=10,b_4=15,〖 b〗_5=21,〖 b〗_6=28,b_7=36,b_8=45,b_9=55,b_10=66,b_11=78,b_12=91,b_13=105.

b_10=66 , 10>9 яғни x,y,z айнымалылары тек 0 – ден 9-ға дейінгі мәндерді қабылдайтындықтан b_n – нің осы айнымалылардың қабылдайтын мәндеріне сәйкес емес артық шешімдерінің санын қарастырмаймыз. Сонымен, 10≤n≤13 болғандағы b_n – нің бүтін оң шешімдерінің саны артық шешімдер болып табылады. Енді x, y, z – тің 0 – ден 9 – ға дейінгі қабылдайтын мәндеріне сәйкес бүтін оң шешімдерінің санын c_(n ) деп белгілесек,

осыдан c_0= b_0,c_1=b_1,…,c_9= b_9. c_10,c_11,c_12,c_13 табу үшін b_n – нің табылған бүтін оң шешімдерінің санынан артық бүтін оң шешімдерінің санын азайтамыз.b_0 үшін артық шешімнің саны үшеу ,ендеше

с10 = 66 – 3 =63. b_(11,) b_12,b_13 – үшін сәйкесінше 9,18,30 артық шешім бар. Демек, с_11=69,c_12=73,c_13=75,a_n= c_n^2 болатындығын байқауға болады. Бұдан a_0=1,a_1=9,a_2=36, a_3=100,a_4=225,a_5=441,a_6=784,a_7=1296,a_8=2025,a_9=3025, a_10=3969, a_11=4761,a_13=5625,

a_0=1 болғанда бір бақытты билеттің цифрлары тек 0 – ден тұратындықтан

S = 2( 9+36+100+225+441+784+1296+2025+3025+3969+4761+5329+5625)=

= 2∙27625 =55250. 55250 ∶ 13 = 4250

[cry]

Нужно попросить админку, а то все уже офигели - тупо спамят, кидают не правильные решения или тупые комментарии

Вряд ли он в ближайшее время это исправит, сайту нужен новый, более активный админ, а не то, что имеем

(Надеюсь коммент не удалят, а аккаунт - не забанят)

абена в админы