43-я Международная Математическая Oлимпиада
Великобритания, Глазго, 2002 год


Дано натуральное число $n$, большее 1. Обозначим через ${{d}_{1}},{{d}_{2}},\ldots ,{{d}_{k}}$ все его делители так, что $1={{d}_{1}} < {{d}_{2}} < \ldots < {{d}_{k}}=n$. Пусть $D={{d}_{1}}{{d}_{2}}+{{d}_{2}}{{d}_{3}}+\ldots +{{d}_{k-1}}{{d}_{k}}$.
а) Докажите, что $D < {{n}^{2}}$.
б) Найдите все $n$, для которых число $D$ — делитель числа ${{n}^{2}}$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение: