43-я Международная Математическая Oлимпиада
Великобритания, Глазго, 2002 год


На плоскости расположены окружности ${{\Gamma }_{1}}$, ${{\Gamma }_{2}}$, $\ldots $, ${{\Gamma }_{n}}$ радиуса 1 каждая с центрами ${{O}_{1}}$, ${{O}_{2}}$, $\ldots $, ${{O}_{n}}$ соответственно, где $n\ge 3$. Известно, что любая прямая плоскости имеет общие точки не более чем с двумя из этих окружностей. Докажите, что $$\sum\limits_{1\le i < j\le n}^{{}}{\dfrac{1}{{{O}_{i}}{{O}_{j}}}}\le \dfrac{(n-1)\pi }{4}.$$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение: