45-я Международная Математическая OлимпиадаГреция, Афины, 2004 год

Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник, в котором $AB\ne AC$. Окружность с диаметром $BC$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Обозначим через $O$ середину стороны $BC$. Биссектрисы углов $BAC$ и $MON$ пересекаются в точке $R$. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $BMR$ и $CNR$, имеют общую точку, лежащую на стороне $BC$.

Комментарий/решение

Так как биссектриса угла $\angle MON$ - серединный перпендикуляр отрезка $MN$, то точка $R$ середина дуги $\overset\frown{MN}$ описанной окружности треугольника $AMN$ . Значит $AMNR$ - вписанный и теорема Микеля завершает доказательство.