49-я Международная Математическая Oлимпиада
Испания, Мадрид, 2008 год


а) Докажите, что неравенство $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{{{z}^{2}}}{{{\left( z-1 \right)}^{2}}}\ge 1$ выполняется для любых отличных от 1 действительных чисел $x$, $y$, $z$ таких, что $xyz=1$.
б) Докажите, что указанное неравенство обращается в равенство для бесконечного числа троек отличных от единицы рациональных чисел $x$, $y$, $z$ таких, что $xyz=1$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2017-03-22 22:07:38.0 #

$$\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}=\left(\frac{x}{x-1}\right)^2+\left(\frac{y}{y-1}\right)^2+\left(\frac{z}{z-1}\right)^2\geq 1$$

$$\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{x-1}=a \\ \frac{y}{y-1}=b \\ \frac{z}{z-1}=c \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{a}{a-1}=x \\ \frac{b}{b-1}=y \\ \frac{c}{c-1}=z \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \ a^2+b^2+c^2\geq 1\\ xyz=\frac{abc}{(a-1)(b-1)(c-1)}=1 \\ \end{gathered} \right.$$

$$\frac{abc}{(a-1)(b-1)(c-1)}=1\Rightarrow a+b+c=ab+bc+ac+1$$

$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(\underbrace{ab+bc+ca})=$$

$$=a^2+b^2+c^2+2a+2b+2c-2\Rightarrow \underbrace{(a+b+c)^2-2(a+b+c)+1}=(a^2+b^2+c^2)-1\Rightarrow$$

$$\Rightarrow a^2+b^2+c^2-1=\underbrace{(a+b+c-1)^2}_{\geq0}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 1$$