49-я Международная Математическая Oлимпиада
Испания, Мадрид, 2008 год
Комментарий/решение:
Пусть $AB, CD$ встречаются в $X$, $AD, BC$ встречаются в $Y$, пусть $k$ пересекаются в $AB, DC, AD, BC$ соответственно в $P,Q,R,S$.
Используя касательные свойства относительно $k$, получаем:
$ BA + AD = BA + AR - DR = BP - DR = BS - DQ = BC + CQ - DQ = BC + CD$
Пусть $k_1, k_2$ пересекают $AC$ в точках $J$ и $L$ соответственно.
Используя окружности, мы имеем:
$AB + JC = BC + AJ$ и $DA + LC = DC + LA$
Сложение и использование $BA + AD = BC + CD$:
$ JC + LC = AL + AJ$
Что быстро дает $AL = JC$
Пусть вписанная окружность $\triangle ABC$ на стороне $AC$ равна $k_3$, а вписанная окружность $\triangle ADC$ на стороне $AC$ равна $k_4$.
Следовательно, $k_3, k_4$ встречаются с $AC$ в точках $L$ и $J$.
Теперь построим касательную к $k$, параллельную $AC$ (и находящуюся по ту же сторону от $k$, что и $AC$). Пусть эта касательная пересекает $k$ в точке $Z$.
Дилатация около $B$ переводит $k_3$ в $k$ и $L$ в $Z$.
Дилатация (отрицательная) относительно $D$ переводит $k_4$ в $k$ и $J$ в $Z$.
Следовательно, $BL$ и $DJ$ встречаются в точке $Z$.
Наконец, постройте две недостающие касательные к $k_1$ и $k_2$, параллельные $AC$, пусть точки касания будут $M$ и $N$ соответственно.
Аналогичные аргументы о расширении показывают, что $ B,M,L,Z$ коллинеарны и $ D,N,J,Z$ также коллинеарны.
Так как $JM$ и $LN$ параллельны и являются диаметрами $k_1$ и $k_2$. $ JN$ и $ LM$ встречаются в центре расширения, которое переводит $k_1$ в $k_2$, который, как мы знаем, является точкой $ Z$. Следовательно, $Z$ — пересечение внешних общих касательных и по построению $Z$ лежит на $k$.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.