50-я Международная Математическая Oлимпиада
Германия, Бремен, 2009 год


Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Пусть $P$ и $Q$ — внутренние точки отрезков $CA$ и $AB$ соответственно. Точки $K$, $L$ и $M$ — середины отрезков $BP$, $CQ$ и $PQ$ соответственно, а $\Gamma $ — окружность, проходящая через точки $K$, $L$ и $M$. Известно, что прямая $PQ$ касается окружности $\Gamma $. Докажите, что $OP=OQ$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение: